{
   \begin{eqnarray*}
      x^n - 1     & = & (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+x^0)\\
      x^{n-1} - 1 & = & (x-1)(x^{n-2}+x^{n-3}+\ldots+x^0)\\
               & \vdots &\\
      x^2 - 1     & = & (x-1)(x^1+x^0)\\
      x^1 - 1     & = & (x-1)\cdot x^0
   \end{eqnarray*}
   Seètìním tìchto rovností dostaneme, že
   $$
      x^n + x^{n-1} + \ldots + x - n = (x-1)(0\cdot x^n + 1\cdot x^{n-1} +
      2\cdot x^{n-2} + \ldots + (n-1)x^1 + n\cdot x^0).
   $$
   Podle vìt o souèinu a souètu limit dostáváme:
   \begin{eqnarray*}
      \lefteqn{\lim_{x\to1}\frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1} =}\\
      & = & \lim_{x\to1}\frac{x-1}{x-1} \cdot \lim_{x\to1}{(x^{n-1} + 2x^{n-2} +
            \ldots + (n-1)x + n)}\\
      & = & \lim_{x\to1}x^{n-1} + 2\cdot\lim_{x\to1}x^{n-2} + \ldots +
            (n-1)\cdot\lim_{x\to1}x + \lim_{x\to1}n\\
      & = & 1 + 2 + \ldots + n-1 + n\;=\;\frac{n(n+1)}2.
   \end{eqnarray*}
   }